z-transformanalys av tidsdiskreta LTI-system
( ⬆︎⬆︎ Klicka på rubriken ovan för att se videon på YouTube – eller se nedan ⬇︎⬇︎ )Användning av z-transformen för beräkning av utsignalen från tidsdiskreta LTI-system – med en härledning och ett exempel på utsignalberäkning. I slutet av videon beskrivs pol-nollställediagram för z-transformer.
- Lämpliga val av basfunktioner xm[n] för att beskriva tidsdiskreta signaler x[n]:
- Ett inledande resonemang (0:00)
- (zm)n som lämpliga basfunktioner (3:04)
- Inversa z-transformen som beskrivning av tidsdiskreta signaler x[n], vilket leder till z-transformsambandet
Yzs[z] = X[z]・H[z], där H[z] är LTI-systemets systemfunktion (10:17)- Ett räkneexempel – beräkning av utsignalen y[n] från ett tidsdiskret LTI-system med hjälp av z-transformen (16:47)
- Själva systemfunktionen H[z] := Yzs[z]/X[z] definieras från 17:40
- Pol-nollställediagram för z-transformer (28:11)
Videosammanfattning
- Inversa z-transformen som beskrivning av tidsdiskreta signaler x[n], vilket leder till z-transformsambandet
Yzs[z] = X[z]・H[z], där H[z] är LTI-systemets systemfunktion (10:17).
(Systemfunktionen definieras först från ca 17:40 – se nedan)
- Ett räkneexempel – beräkning av utsignalen y[n] från ett tidsdiskret LTI-system med hjälp av z-transformen (16:47)
- I räkneexemplet beräknas y[n] = yzs[n] som den inversa z-transformen av Yzs[z] = X[z]・H[z],
där tidsdiskreta LTI-systemets systemfunktion H[z] := Yzs[z]/X[z] definieras från 17:40.
- I avsnittet ovan beräknas X[z] och H[z].
Tips:
- Avslutning av räkneexemplet – partialbråksuppdela Yzs[z] och inverstransformera (från 24:01)
I stället för att partialbråksuppdela Yzs[z], inför en inverstransformering, så brukar det vara enklare att i stället partialbråksuppdela Yzs[z]/z, för att därefter multiplicera tillbaka z igen. Det går vanligen bra, då de flesta vanliga/intressanta z-transformer innehåller ett z i täljaren.
Eftersom de vanligaste z-transformerna kan skrivas som ett rationellt polynom av z, dvs. som ett täljarpolynom av z delat med ett nämnarpolynom av z, så kan vi beskriva sådana z-transformer (nästan alla som vi stöter på i den här kursen) grafiskt med hjälp av pol-nollställediagram.
- Pol-nollställediagram för z-transformer (28:11)
Här ritas pol-nollställediagrammen för räkneexemplets X[z], H[z] och Yzs[z].
Pol-nollställediagrammen för z-transformer används alltså på samma sätt som för laplacetransformer – men här håller vi till i z-planet i stället för s-planet. Därför blir konvergensområdet för en z-transform innanför eller utanför en viss radie i z-planet, eller mellan två radier.
Avslutningsvis nämner jag varför enhetscirkeln |z|=1 är särskilt viktig för z-transformen. Om enhetscirkeln ligger i z-transformens konvergensområde, så existerar även motsvarande fouriertransform:
- Fouriertransformen av en tidsdiskret funktion är lika med z-transformen
av funktionen beräknad längs enhetscirkeln, på
motsvarande sätt som fouriertransformen av en tidskontinuerlig
funktion är lika med laplacetransformen av funktionen längs j𝜔-axeln.
(Detta kommer att tas upp i de två avslutande föreläsningarna.)