z-transformanalys av tidsdiskreta LTI-system

( ⬆︎⬆︎ Klicka på rubriken ovan för att se videon på YouTube – eller se nedan  ⬇︎⬇︎ )

 
 
Användning av z-transformen för beräkning av utsignalen från tidsdiskreta LTI-system – med en härledning och ett exempel på utsignalberäkning. I slutet av videon beskrivs pol-nollställediagram för z-transformer.

• Lämpliga val av basfunktioner x_m[n] för att beskriva tidsdiskreta signaler x[n]:
• Ett inledande resonemang (0:00)
• (z_m)ⁿ som lämpliga basfunktioner (3:04)
• Inversa z-transformen som beskrivning av tidsdiskreta signaler x[n], vilket leder till z-transformsambandet
  Y_zs[z] = X[z]･H[z], där H[z] är LTI-systemets systemfunktion  (10:17)
• Ett räkneexempel – beräkning av utsignalen y[n] från ett tidsdiskret LTI-system med hjälp av z-transformen (16:47)
• Själva systemfunktionen H[z] := Y_zs[z]/X[z] definieras från 17:40
• Pol-nollställediagram för z-transformer (28:11)

---

Videosammanfattning

• Lämpliga val av basfunktioner x_m[n] för att beskriva tidsdiskreta signaler x[n]:
• Ett inledande resonemang (0:00)
• (z_m)ⁿ som lämpliga basfunktioner (3:04)

• Inversa z-transformen som beskrivning av tidsdiskreta signaler x[n], vilket leder till z-transformsambandet
  Y_zs[z] = X[z]･H[z], där H[z] är LTI-systemets systemfunktion  (10:17).
  (Systemfunktionen definieras först från ca 17:40 – se nedan)
  
  

• Ett räkneexempel – beräkning av utsignalen y[n] från ett tidsdiskret LTI-system med hjälp av z-transformen (16:47)
  
• I räkneexemplet beräknas y[n] = y_zs[n] som den inversa z-transformen av Y_zs[z] = X[z]･H[z],
  där tidsdiskreta LTI-systemets systemfunktion H[z] := Y_zs[z]/X[z] definieras från 17:40.
  
• I avsnittet ovan beräknas X[z] och H[z].
  
  

• Avslutning av räkneexemplet – partialbråksuppdela Y_zs[z] och inverstransformera (från 24:01)
  

Tips: 
I stället för att partialbråksuppdela Y_zs[z], inför en inverstransformering, så brukar det vara enklare att i stället partialbråksuppdela Y_zs[z]/z, för att därefter multiplicera tillbaka z igen.  Det går vanligen bra, då de flesta vanliga/intressanta z-transformer innehåller ett z i täljaren.

• Pol-nollställediagram för z-transformer (28:11)
  
  Här ritas pol-nollställediagrammen för räkneexemplets X[z],  H[z] och Y_zs[z].

Eftersom de vanligaste z-transformerna kan skrivas som ett rationellt polynom av z, dvs. som ett täljarpolynom av z delat med ett nämnarpolynom av z, så kan vi beskriva sådana z-transformer (nästan alla som vi stöter på i den här kursen) grafiskt med hjälp av pol-nollställediagram. 

Pol-nollställediagrammen för z-transformer används alltså på samma sätt som för laplacetransformer – men här håller vi till i z-planet i stället för s-planet. Därför blir konvergensområdet för en z-transform innanför eller utanför en viss radie i z-planet, eller mellan två radier.

Avslutningsvis nämner jag varför enhetscirkeln |z|=1 är särskilt viktig för z-transformen. Om enhetscirkeln ligger i z-transformens konvergensområde, så existerar även motsvarande fouriertransform:

• Fouriertransformen av en tidsdiskret funktion är lika med z-transformen av funktionen beräknad längs enhetscirkeln, på motsvarande sätt som fouriertransformen av en tidskontinuerlig funktion är lika med laplacetransformen av funktionen längs j𝜔-axeln.
  (Detta kommer att tas upp i de två avslutande föreläsningarna.)
  

Last updated: 2022-12-06