LiU startsida
Lösning av en
differentialekvation med hjälp av laplacetransformen
( ⬆︎⬆︎ Klicka på rubriken ovan för att se videon på YouTube – eller
se nedan ⬇︎⬇︎ )Här går jag igenom ett exempel på hur man löser en differentialekvation med begynnelsevillkor med hjälp av den enkelsidiga laplacetransformen.
Differentialekvationen beskriver förhållandet mellan utsignalen y(t) och insignalen x(t) för ett kausalt LTI-system, och för en given insignal beräknas den totala utsignalen y(t) = yzi(t) + yzs(t):
- Problemformulering med definition av systemets zero-input response yzi(t) och zero-state response yzs(t)=(x*h)(t) (0:00)
- Laplacetransformering av differentialekvationen (1:31)
- Y(s) = Yzi(s) + Yzs(s) (5:38)
- LTI-systemets systemfunktion H(s) = Yzs(s)/X(s) (7:34)
- Invers laplacetransformering av Y(s) till y(t)
= yzi(t) + yzs(t)
(9:30)
- Omskrivning till och jämförelse med y(t) = yh(t) + yp(t), summan av differentialekvationens homogena lösning respektive partikulärlösning (18:04)
Videosammanfattning
Här går jag igenom ett exempel på hur man löser en differentialekvation med begynnelsevillkor med hjälp av den enkelsidiga laplacetransformen.
Differentialekvationen beskriver förhållandet mellan utsignalen y(t) och insignalen x(t) för ett kausalt LTI-system, och för en given insignal beräknas den totala utsignalen y(t) = yzi(t) + yzs(t):
Systemfunktionen H(s), som definieras i samband med lösandet av differentialekvationen, är mycket central vid vår kommande analys i kursen av tidskontinuerliga LTI-system!
Vid beräkning av utsignalen från LTI-system, så föredrar man oftast att beräkna zero-input och zero-state response i stället för den homogena och partikulära lösningen. Det blir enklare beräkningar och är tydligare kopplat till fysikaliska system, med kännedom om begynnelsevärdena innan insignalen släpps på systemet (dvs. vid t=0-, vilket behövs för att beräkna yzi(t)) i stället för efter (dvs. vid t=0+, vilket behövs för att beräkna både yh(t) och yp(t)).
När du i kursen stöter på en differentialekvationsbeskrivning av (oftast kausala) LTI-system med nollskilda begynnelsevillkor – dvs. systemet är inte energifritt då insignalen släpps på – så är det smidigast att lösa differentialekvationen (dvs. beräkna den totala utsignalen) med hjälp av laplacetransformen, så som jag visar i videon, och inte i tidsdomänen.
Oftast så kommer dock LTI-systemen att vara energifria, dvs. yzi(t)=0, vilket gör att beräkningarna då blir lite enklare/kortare än här.