LiU Homepage
Sampling och Rekonstruktion – Inledning
( ⬆︎⬆︎ Klicka på rubriken ovan för att se videon på YouTube – eller se nedan ⬇︎⬇︎ )Denna video tar upp grunderna i sampling och rekonstruktion.
Videon består av följande delar (klicka på tiderna i beskrivningstexten på YouTube för att se respektive avsnitt):
- Realisering av tidskontinuerliga system som
tidsdiskreta system (0:00)
- Tidskontinuerlig samplingsmodell (7:29)
- Ideal sampling (13:13)
- Frekvensegenskap vid ideal sampling – härledning av Poissons summationsformel (17:34)
- Grafisk tolkning av Poissons summationsformel (24:48)
- Rekonstruktion (26:48)
- Samplingsteoremet (32:47)
Videosammanfattning
Kursavsnittet och de två videorna om "Sampling och Rekonstruktion" tar upp egenskaper hos samplingen och rekonstruktionen både i tidsdomänen och frekvensdomänen. Det handlar bland annat om skillnaden mellan- Ideal sampling och praktisk sampling
samt
- Ideal rekonstruktion och praktisk rekonstruktion,
Två centrala frågor, som denna video (om bl.a. ideal sampling & rekonstruktion), nästa video (om praktisk sampling & rekonstruktion) och den relaterade föreläsningen handlar om, är
- Hur kan man sampla utan att förlora någon information om signalen x(t)?
- Hur kan man rekonstruera så att den väsentliga informationen i y[n] även finns i den erhållna signalen y(t)?
- Eller mer specifikt: Om man rekonstruerar direkt efter en
ideal sampling, dvs. vi låter y[n] = x[n]
= x(nT), hur ska rekonstruktionen gå till för
att vi ska erhålla y(t)=x(t)?
I blockschemat överst i skärmavbildningen ovan visas, från 0:00, hur man vanligen realiserar/implementerar tidskontinuerliga LTI-system med hjälp av motsvarande tidsdiskreta LTI-system:
- Först samplas insignalen x(t) för att
erhålla en tidsdiskret signal x[n]=x(nT),
vilket kan betraktas som en slags A/D-omvandling
(Analog-till-Digital).
- Denna samplade signal (som består av en sekvens av
tal/sampelvärden) är sedan insignal till ett tidsdiskret
LTI-system som påverkar/filtrerar x[n] på
motsvarande sätt som det tidskontinuerliga LTI-systemet skulle
ha påverkat/filtrerat x(t).
Det tidsdiskreta LTI-systemets utsignal är den tidsdiskreta signalen y[n].
- Därefter sker en s.k. rekonstruktion – en slags
D/A-omvandling (Digital–till–Analog) – från den
tidsdiskreta signalen y[n] till en motsvarande
tidskontinuerlig signal y(t).
En tidskontinuerlig samplingsmodell (från 7:29)
Vid praktisk sampling, så erhåller man och hanterar den samplade tidsdiskreta signalen x[n]. Vid s.k. likformig sampling, så består x[n] av en sekvens med likformigt fördelade sampelvärden från x(t), dvs. x[n]=x(nT), där T är sampelavståndet.
För att undersöka vad som analytiskt händer i frekvensdomänen vid samplingen, så behöver vi ha en tidskontinuerlig beskrivning/modell x¯(t) av den tidsdiskreta signalen x[n]. Denna tidskontinuerliga representation av x[n] erhålls genom att multiplicera x(t) med någont slags pulståg pT(t), som består av en följd av tidsförskjutna versioner av en tidskontinuerlig pulsform p(t). Beroende på vilken pulsform p(t) som används, så resulterar det i olika konsekvenser för hur fouriertransformen av x¯(t), dvs. X¯(𝜔), ser ut.
Det vi önskar är att vi på något sätt ska kunna hitta X¯(𝜔) (fouriertransformen av x¯(t) ) i X(𝜔) (fouriertransformen av x(t) ).
(Med x¯ och X¯ menas x respektiv X med "streck över", de tecknen går inte att skriva i texten här)
Ideal sampling (från 13:13)
Man kan inte, rent praktiskt/fysikalisk, generera en sampelpulsform p(t)=𝛿(t) och följaktligen inte heller "pulståget" pT(t) = 𝛿T(t). När vi ändå här analytiskt undersöker frekvensegenskaperna vid sampling med ett diracpulståg så kallar vi detta för ideal sampling. Notera att den fysikaliskt samplade tidsdiskreta signalen x[n] återfinns som dirac-tågets vikter – dvs. vid t = nT finns en amplitudskalad dirac x[n]𝛿(t–nT).
- Frekvensegenskap vid ideal sampling – härledning av Poissons summationsformel (från 17:34)
- Grafisk tolkning av Poissons summationsformel (från 24:48)
OBS: De flesta grundläggande samband finns i formelsamlingen – du behöver främst förstå dem och veta när och hur de ska användas:
Rekonstruktion (från 26:48)
Här bortser vi från en eventuell tidsdiskret filtrering av av den samplade signalen x[n], och utför en direkt rekonstruktion av x[n] (i stället för att rekonstruera en filtrerad signal y[n]). Syftet är att vi vill se om vi kan återskapa x(t) från x[n], om samplingen var ideal och vi har uppfyllt samplingsteoremet (kommer sist i videon).
Eftersom vi har tillgång till x¯(t), den tidskontinuerliga representationen av x[n], så kan vi tänka oss att rekonstruktionssystemet/-blocket är ett tidskontinuerligt LTI-system med impulssvar h(t) och frekvensfunktion H(𝜔), samt att det har x¯(t) som insignal och y(t) som utsignal.
- Ideal rekonstruktion (från 28:48)
- Den ideala rekonstruktionen betraktas som en ideal
lågpassfiltrering i frekvensdomänen, som filtrerar bort
alla periodiska upprepningar av X(𝜔) i X¯(𝜔).För
alla ideala frekvensselektiva filter (LP, HP,
BP, BS) gäller att frekvensfunktionen H(𝜔) är
lika med noll i vissa frekvensband, vilket innebär att
motsvarande impulssvar h(t)
har en oändlig uträckning, dvs. det är bla. nollskilt
för t<0. Det innebär i sin tur att systemet är
icke-kausalt och därför inte realiserbart.
- Praktisk rekonstruktion (från 30:39)
- Vid praktisk rekonstruktion använder man sig av ett
realiserbart/fysikaliskt kausalt system, dvs. med h(t)=0
för t<0. Konsekvensen blir att
H(𝜔) i stället får en oändlig utbredning, så man vid
rekonstruktionsfiltreringen får med en del av de periodiska
upprepningarna hos X(𝜔). I nästa video ("Praktisk
Sampling och Rekonstruktion") visas hur man kan utföra
praktisk rekonstruktion på ett bra sätt.
- Samplingsteoremet (från 32:47)
- Samplingsteoremet talar om hur stor sampelfrekvensen behöver
vara vid den ideala samplingen för att man ska kunna återskapa
x(t) från x[n]. Om man väljer för
liten sampelfrekvens, så kommer de periodiska upprepningarna
av X(𝜔) i X¯(𝜔) att överlappa
varandra, vilket inte är önskvärt.