LiU Homepage
Den tidsdiskreta fouriertransformen
( ⬆︎⬆︎ Klicka på rubriken ovan för att se videon på YouTube – eller se nedan ⬇︎⬇︎ )I videoklippet härleds först fouriertransformen av en tidsdiskret signal som ett specialfall av z-transformen av signalen.
Videon avslutas sedan med ett räkneexempel.
- 0:00: Referens till en annan video, "Relationen mellan fouriertransformen och laplacetransformen" som kursens TSDT84-studenter (D & I/Ii) redan har sett i HT1. Läs mer i videosammanfatningen nedan, innan du eventuellt först ser den videon!
- 0:25: Jämförelse mellan laplacetransformen av x(t) = cos(𝜔0t)u(t) och z-transformen av den samplade
x[n] = x(nT) = cos(Ω0n)u[n]. Jämförelsen handlar speciellt polernas lägen.
- (Från 1:03 pratar jag om cos(Ω0n)u[n], men till vänster i videon finns ett skrivfel:
Det står cos(Ω0t)u[n], men det ska förstås vara "n" och inte "t" i uttrycket.)
- 4:06: Jämförelse mellan laplacetransformen av x(t) = e–atcos(𝜔0t)u(t) och
z-transformen av x[n] = x(nT) = 𝛾ncos(Ω0n)u[n] – speciellt polernas lägen.
- 9:53: Fouriertransformen X[Ω] av en tidsdiskret signal x[n].
- 12:35: Ett räkneexempel – fouriertransformen av x[n] = 0.8nu[n]
Videosammanfattning
Under videons första halvminut hänvisar jag till en annan video
som man kan se innan denna – "Relationen mellan
fouriertransformen och laplacetransformen" – som
TSDT84-studenter redan sett i HT1. Det är inte nödvändigt för de
flesta i kursen att se den videon, den bör vara ren repetition för
alla studenter i kursen vi det här laget.
Det viktiga (som sägs i slutet av videon, från ca 14:48)
som du ska ta med dig inför den här videon
om den tidsdiskreta fouriertransformen är följande:
- Fouriertransformen är lika med laplacetransformen längs j𝜔-axeln i s-planet, dvs. H(𝜔) = H(s)|s=j𝜔
och
- Frekvenssignaler med vinkelfrekvens 𝜔0 relateras till punkterna s = ±j𝜔0 på j𝜔-axeln.
- 0:25: Jämförelse mellan laplacetransformen av x(t) = cos(𝜔0t)u(t) och z-transformen av den samplade signalen
x[n] = x(nT) = cos(Ωn)u[n] – speciellt polernas lägen.
- 4:06: Jämförelse mellan laplacetransformen av x(t) = e–atcos(𝜔0t)u(t) och
z-transformen av x[n] = x(nT) = 𝛾n･cos(Ωn)u[n] – speciellt polernas lägen.
Fokuset i
den här inledningen ligger i förståelsen att j𝜔-axeln
i s-planet motsvaras av enhetscirkeln i z-planet.
Du har redan hört detta under föregående föreläsning, i samband
med z-transformanalys och tidsdiskreta frekvensselektiva
filter, men här inleder jag med detta resonemang för att i nästa
del av videon (nedan) komma fram till fouriertransformen av x[n].
- 9:53: Definition: Fouriertransformen X[Ω] av en tidsdiskret signal x[n].
Bokens beteckning: X(Ω) = DTFT{x[n]}.
OBS: DTFT (Discrete Time Fourier Transform) är inte samma som DFT (Discrete Fourier Transform).
- 12:35: Ett räkneexempel – fouriertransformen av x[n] = 0.8nu[n]
- Här har jag även lagt till nollstället hos H[z] i origo (är ej med i videon, ty nollställen och poler i origo påverkar inte |H[Ω]|, ty avståndet från origo till godtycklig punkt på enhetscirkeln är lika med 1).
- Fouriertransformen är vanligen lite jobbig att räkna med – den känns oftast inte lika intuitiv och smidig att räkna med som z-transformen. Därför är det vanligare att använda z-transformen när det går, för att sedan gå över till fouriertransformen när det behövs (genom variabelsubstitutionen z = ejΩ, under förutsättning att enhetscirkeln ligger i z-transformens konvergensområde) – som när man är intresserad av en signals amplitud- och/eller fasspektrum eller ett LTI-systems amplitud- och/eller faskaraktäristik.